函數(shù)連續(xù)性的定義，函數(shù)的連續(xù)性是什么意思

來源：整理時間：2023-05-20 10:21:22 編輯：好學習手機版

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1，函數(shù)的連續(xù)性是什么意思
2，函數(shù)的連續(xù)性

1，函數(shù)的連續(xù)性是什么意思

直觀理解:函數(shù)圖像連續(xù)。精確定義：limf(x) = f(x0) x->x0時，則稱f在x0處連續(xù)。引入增量的概念后，連續(xù)的定義等價于 lim△y=0 △x->0時。(即x的變化很小時，y的變化為0）或者用ε-δ方式敘述：若對任意ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有： |f(x)-f(x0)|<ε，則稱f在x0處連續(xù) 若f在區(qū)間I上任一點都滿足上述定義，則稱f在I上連續(xù)。

函數(shù)的連續(xù)性是什么意思

2，函數(shù)的連續(xù)性

判斷函數(shù)的連續(xù)性，常規(guī)方法利用連續(xù)定義去證明行了。判斷f(x)=√x的連續(xù)性當x→0時，很顯然有：limf(x)=f(0)=0 所以： y=√x在點x=0處連續(xù)。如果是選擇題或只用給出結(jié)論的題也可以用y=√x在點x=0的導數(shù)是否存在來判斷，y=√x在點x=0的導數(shù)存在，則連續(xù)，否則不連續(xù)。附：一個重要的結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。（y=√x為初等函數(shù)，x=0在其定義域中，它是連續(xù)的）另一結(jié)論：函數(shù)在定義域內(nèi)可導，該函數(shù)必定連續(xù)；但函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，該函數(shù)就不一定可導連續(xù)的定義：定義設(shè)函數(shù)f(x) 在點x。的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量△x=x-x。趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)的增量△x=f(x-x。)-f(x。) 也趨于零，那么就稱函數(shù)f(x) 在點x。連續(xù)．連續(xù)的定義又可敘述如下：設(shè)函數(shù) f(x)在點x。的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當x→x。時的極限存在，且等于它在點x。處的函數(shù)值f(x。) 即：當x→x。時，limf(x)=f(x。) 那么就稱函數(shù)f(x)在點x。連續(xù)．

d(x)=1，x有理數(shù)；d(x)=0，x是無理數(shù)。很顯然，對任意的x，可以找到一個有理點列xk和無理點列yk，趨于這個點。對應(yīng)的函數(shù)值的極限分別是1和0，因此極限不存在，更不連續(xù)。r(p/q)=1/q，r(無理點)=0。只要證明了對任意的a，當x趨于a時，有l(wèi)imr(x)=0，則在無理點函數(shù)值=極限值，連續(xù)；在有理點，函數(shù)值不等于極限值，不連續(xù)。對任意的e>0，考慮集合e=(a--1，a+1)

函數(shù)的連續(xù)性